Zadanie 9 – matura z matematyki maj 2010, poziom rozszerzony

Z równoległoboku i z kwadratu \(CDEF\) mamy \(|AB|=|CD|=|CF|\), a z kwadratu \(BCGH\) mamy \(|BC|=|CG|\). Jeśli \(\alpha=|\angle ABC|\), to \(|\angle BCD|=180^\circ-\alpha\), a z kąta pełnego przy wierzchołku \(C\) wynika \(|\angle FCG|=360^\circ-(180^\circ-\alpha)-90^\circ-90^\circ=\alpha\). Trójkąty \(ABC\) i \(FCG\) są więc przystające (bok-kąt-bok), skąd \(|AC|=|FG|\).

**Krok \(1\).** Mamy wykazać, że dwa odcinki są równe. Najprostsza droga to znaleźć dwa trójkąty przystające, w których te odcinki są odpowiadającymi sobie bokami. Odcinek \(AC\) jest bokiem trójkąta \(ABC\), a odcinek \(FG\) bokiem trójkąta \(FCG\) — oba mają wierzchołek w punkcie \(C\). Pokażemy, że te trójkąty są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok. **Krok \(2\).** Pierwsza para boków. W równoległoboku przeciwległe boki są równe, więc \(|AB|=|CD|\). Czworokąt \(CDEF\) jest kwadratem, a \(CD\) i \(CF\) to jego boki, więc \(|CD|=|CF|\). Łącząc: \[|AB|=|CF|.\] **Krok \(3\).** Druga para boków. Czworokąt \(BCGH\) jest kwadratem, a \(BC\) i \(CG\) to jego boki, więc \[|BC|=|CG|.\] **Krok \(4\).** Kąt trójkąta \(ABC\) zawarty między bokami \(AB\) i \(BC\) to kąt \(ABC\). Oznaczmy \(\alpha=|\angle ABC|\). W równoległoboku kąty przy sąsiednich wierzchołkach dopełniają się do kąta półpełnego, więc \[|\angle BCD|=180^\circ-\alpha.\] **Krok \(5\).** Teraz kąt \(FCG\), czyli kąt trójkąta \(FCG\) zawarty między bokami \(CF\) i \(CG\). Wokół punktu \(C\) leżą kolejno cztery kąty: \(\angle BCD\) (kąt równoległoboku), \(\angle DCF\) i \(\angle GCB\) (kąty kwadratów, każdy \(90^\circ\)) oraz szukany \(\angle FCG\). Ich suma to kąt pełny: \[|\angle FCG|=360^\circ-\left(180^\circ-\alpha\right)-90^\circ-90^\circ=\alpha.\] **Krok \(6\).** Zebraliśmy trzy fakty: \(|AB|=|CF|\), \(|BC|=|CG|\) oraz \(|\angle ABC|=|\angle FCG|\), przy czym te kąty leżą dokładnie między wymienionymi bokami. To jest cecha przystawania bok-kąt-bok, więc trójkąty \(ABC\) i \(FCG\) są przystające. **Krok \(7\).** W trójkątach przystających odpowiadające sobie boki mają równe długości. Bokowi \(AC\) trójkąta \(ABC\) odpowiada bok \(FG\) trójkąta \(FCG\), zatem \[|AC|=|FG|,\] co należało wykazać. **Uwaga.** Rozumowanie nie zależy od tego, czy kąt \(\alpha\) jest ostry, czy rozwarty — kąty przy \(C\) zawsze sumują się do \(360^\circ\), więc równość \(|\angle FCG|=\alpha\) zachodzi zawsze. **Odpowiedź.** Trójkąty \(ABC\) i \(FCG\) są przystające (bok-kąt-bok), więc \(|AC|=|FG|\).

Zadanie 9. 0—4 Obszar standardów Sprawdzane umiejętności Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc IABI = ICDI = ICFI. W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe. Niech a oznacza kąt ABC danego równoległoboku. Wówczas p BCDI = 1800 —a . W kwadratach CDEF CBHG mamy DCFI = p DCFI = 900 , więc p FCGI = p ABCI. W trójkątach ABC i FCG mamy zatem: ABI= ICFI, IBCI = ICGI oraz In FCGI ABCI, więc trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb ). Stąd wnioskujemy, że ACI = IFGI . Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zaznaczenie na rysunku odcinków AC i FG oraz zapisanie równości ABI = i BCI=ICGI. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, na podstawie cechy (bkb), bez podania pełnego uzasadnienia równości kątów p FCGI = p ABCI . Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 3 p] Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, wraz z podaniem pełnego uzasadmenia równości kątów p FCGI = ABCI . Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Rozwiązanie pełne Zapisanie wniosku, że ACI = IFG 4 pkt

V. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu geometrycznego.