Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 4, maj 2010, poziom rozszerzony
Wyznacz wartości \(a\) i \(b\) współczynników wielomianu
\[
W(x)=x^3+ax^2+bx+1,
\]
wiedząc, że \(W(2)=7\) oraz że reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \(x-3\) jest równa \(10\).
Odpowiedź
a=−\(5\) i b=\(9\). Z W(\(2\))=\(7\) oraz twierdzenia o reszcie, czyli W(\(3\))=\(10\), otrzymujemy układ \(8\)+\(4a\)+\(2b\)+\(1=7\) i \(27\)+\(9a\)+\(3b\)+\(1=10\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia \(W\) przez \(x-3\) jest równa \(W(3)\), więc dane prowadzą do układu równań
\[\begin{cases}W(2)=8+4a+2b+1=7,\\ W(3)=27+9a+3b+1=10.\end{cases}\]
Po uporządkowaniu
\[\begin{cases}4a+2b=-2,\\ 9a+3b=-18,\end{cases}\qquad\text{czyli}\qquad \begin{cases}2a+b=-1,\\ 3a+b=-6.\end{cases}\]
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
\[a=-5,\qquad b=-1-2a=-1+10=9.\]
Sprawdzenie: \(W(x)=x^{3}-5x^{2}+9x+1\), więc \(W(2)=8-20+18+1=7\) oraz \(W(3)=27-45+27+1=10\).
**Odpowiedź.** \(a=-5\), \(b=9\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów przez dwumian.
