Trójkąty
Zadanie 6, maj 2006, poziom podstawowy
Państwo Nowakowie przeznaczyli \(26000\,\mathrm{zł}\) na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali \(1:1000\). Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje \(35\,\mathrm{zł}\). Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki \(P_2\).
Na rysunku punkty \(A,B,C\) są współliniowe, punkty \(E,D,C\) są współliniowe, \(AE\perp AC\), \(BD\perp EC\), \(|AE|=5\,\mathrm{cm}\), \(|EC|=13\,\mathrm{cm}\), \(|BC|=6{,}5\,\mathrm{cm}\), a działką \(P_2\) jest trójkąt \(BCD\).
Odpowiedź
Działka \(P_2\) ma \(750\ \mathrm{m}^2\) i kosztuje \(26\,250\ \text{zł}\), więc kwota \(26\,000\ \text{zł}\) nie wystarczy.
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(AEC\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(A\), więc z twierdzenia Pitagorasa
\[\lvert AC\rvert=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm},\]
a jego pole na rysunku wynosi
\[P_{AEC}=\tfrac12\cdot5\cdot12=30\ \mathrm{cm}^2.\]
Trójkąt \(DBC\) ma kąt prosty przy \(D\) (bo \(BD\perp EC\)) i wspólny kąt przy \(C\) z trójkątem \(AEC\), więc te trójkąty są podobne. Skala:
\[k=\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert EC\rvert}=\frac{6{,}5}{13}=\frac12.\]
Stosunek pól jest kwadratem skali:
\[P_{DBC}=\left(\tfrac12\right)^2\cdot30=7{,}5\ \mathrm{cm}^2.\]
Rysunek jest w skali \(1:1000\), więc pola rzeczywiste są \(1000^2=10^6\) razy większe:
\[P_2=7{,}5\cdot10^6\ \mathrm{cm}^2=750\ \mathrm{m}^2\]
(korzystamy z \(1\ \mathrm{m}^2=10^4\ \mathrm{cm}^2\)).
Koszt działki:
\[750\cdot35\ \text{zł}=26\,250\ \text{zł}>26\,000\ \text{zł}.\]
**Odpowiedź.** Działka \(P_2\) kosztuje \(26\,250\ \text{zł}\), a więc przeznaczona kwota nie wystarczy — brakuje \(250\ \text{zł}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 6.** (\(7\) pkt)
Państwo Nowakowie przeznaczyli \(26000\) zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali \(1:1000\). Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje \(35\) zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki \(P_{2}\).
(rysunek: działki \(P_{1}\) i \(P_{2}\), \(AE=5\,\mathrm{cm}\), \(EC=13\,\mathrm{cm}\), \(BC=6{,}5\,\mathrm{cm}\))
Trójkąty \(ACE\) i \(DCB\) są podobne.
Z twierdzenia o polach figur podobnych otrzymuję zależność: \(\frac{P_{2}}{P_{\Delta ACE}}=k^{2}\), gdzie \(k\) jest skalą podobieństwa trójkątów.
Wyznaczam skalę podobieństwa \(k\): \(k=\frac{BC}{EC}=\frac{6{,}5}{13}=\frac{1}{2}\).
Wyznaczam zależność między polami trójkątów podobnych \(P_{2}\) i \(P_{\Delta ACE}\): \(P_{2}=k^{2}\cdot P_{\Delta ACE}\), stąd \(P_{2}=\frac{1}{4}\cdot P_{\Delta ACE}\).
Obliczam długość odcinka \(AC\) z trójkąta \(AC\): \(AC=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12\,\mathrm{cm}\).
Obliczam pole trójkąta \(ACE\) (na rysunku): \(P_{\Delta ACE}=30\,\mathrm{cm}^{2}\).
Obliczam pole działki \(P_{2}\) (na rysunku): \(P_{2}=\frac{1}{4}P_{\Delta ACE}=7{,}5\,\mathrm{cm}^{2}\).
Obliczam pole działki \(P_{2}\) w rzeczywistości: \(P_{2}=7{,}5\,\mathrm{cm}^{2}\cdot(1000)^{2}=750\,\mathrm{m}^{2}\).
Obliczam koszt zakupu działki \(P_{2}\): \(750\cdot 35=26250\) zł.
Odp.: Przeznaczona kwota nie wystarczy na zakup tej działki, zabraknie \(250\) zł.
| Nr czynności | 6.1. | 6.2. | 6.3. | 6.4. | 6.5. | 6.6. | 6.7. |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
