Ciąg geometryczny
Zadanie 14, lipiec 2020, poziom podstawowy
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są
\[a_2=6\qquad\text{oraz}\qquad a_5=-48.\]
Wynika stąd, że
**A.** \(a_7>0\)
**B.** \(a_7<0\)
**C.** \(a_7>a_6\)
**D.** \(a_7>a_8\)
Odpowiedź
**B.** \(a_7<0\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego, a pytania dotyczą wyrazów dalszych. Kluczem w każdym takim zadaniu jest najpierw wyznaczyć iloraz \(q\), bo dopiero znając go, możemy przechodzić od wyrazu do wyrazu.
**Krok \(2\).** Od wyrazu \(a_2\) do wyrazu \(a_5\) mnożymy przez \(q\) trzy razy (przejścia \(2\to3\), \(3\to4\), \(4\to5\)), zatem
\[a_5=a_2\cdot q^3.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy dane:
\[-48=6q^3,\qquad q^3=-8,\qquad q=-2.\]
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest jeden i jest ujemny, więc innej możliwości nie ma.
**Krok \(4\).** Liczymy kolejne wyrazy, mnożąc za każdym razem przez \(q=-2\):
\[a_6=a_5\cdot q=-48\cdot(-2)=96,\]
\[a_7=a_6\cdot q=96\cdot(-2)=-192,\]
\[a_8=a_7\cdot q=-192\cdot(-2)=384.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy odpowiedzi. \(a_7=-192\lt0\), więc **B** jest prawdziwa, a **A** fałszywa.
**Krok \(6\).** Odpowiedź **C** mówi \(a_7\gt a_6\), czyli \(-192\gt96\) — fałsz. Odpowiedź **D** mówi \(a_7\gt a_8\), czyli \(-192\gt384\) — też fałsz.
**Uwaga.** Ujemny iloraz sprawia, że wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak: wyrazy o numerach parzystych są tu dodatnie, o nieparzystych (od \(a_3\) w górę) ujemne. Taki ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.
**Odpowiedź.** B: \(a_7\lt0\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.
