Ciąg arytmetyczny
Zadanie 15, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Czterowyrazowy ciąg \((7, a_{2}, a_{3}, a_{4})\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\). **Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Niech r będzie różnicą ciągu. Z równania \(7\) + (\(7\) + r) + (\(7\) + \(2r\)) + (\(7\) + \(3r\)) = \(54\) otrzymujemy \(28\) + \(6r\) = \(54\), więc r = \(\frac{13}{3}\). Zatem \(a_{2}\) = \(\frac{7 + 13}{3 = 34}\)/\(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Kolejne wyrazy to \(7\), \(7+r\), \(7+2r\) oraz \(7+3r\), więc warunek na sumę daje
\[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54,\qquad 28+6r=54,\qquad 6r=26,\qquad r=\frac{13}3.\]
Drugi wyraz jest zatem równy
\[a_2=7+\frac{13}3=\frac{21+13}{3}=\frac{34}3.\]
**Odpowiedź.** \(a_2=\frac{34}3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą albo obliczenie a₃ = 47/3 lub a₄ = 20.
2 pkt: poprawna metoda i wynik a₂ = 34/3.
Wymagania podstawy programowej
IV. Rozumowanie i argumentacja. VI.5) Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
