Ciąg arytmetyczny
Zadanie 11, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Ciąg \((a,b,c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a,2b,c+1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek
\[c-b=6.\]
**Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[a=1,\qquad b=3,\qquad c=9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(c-b=6\) mamy \(c=b+6\). Ciąg \((2a,2b,c+1)=(2a,2b,b+7)\) jest arytmetyczny, więc
\[2b=\frac{2a+b+7}{2}.\]
Stąd
\[4b=2a+b+7,\qquad b=\frac23a+\frac73.\]
Zatem
\[c=b+6=\frac23a+\frac{25}{3}.\]
Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem geometrycznym,
\[b^2=ac.\]
Po podstawieniu:
\[\left(\frac23a+\frac73\right)^2=a\left(\frac23a+\frac{25}{3}\right),\]
\[2a^2+47a-49=0.\]
Otrzymujemy
\[a=-\frac{49}{2}\quad\text{lub}\quad a=1.\]
Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc odrzucamy pierwsze rozwiązanie. Dla \(a=1\):
\[b=3,\qquad c=9.\]
Istotnie, \((1,3,9)\) jest geometryczny, a \((2,6,10)\) arytmetyczny.
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie \(a=1\), \(b=3\), \(c=9\)
**4 pkt** – rozwiązanie otrzymanego równania z jedną niewiadomą i uzyskanie obu kandydatów
**3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do rozwiązania
**2 pkt** – poprawne wykorzystanie obu własności ciągów i zapisanie układu warunków albo przedstawienie wyrazów jednego z ciągów za pomocą jednej niewiadomej
**1 pkt** – zapisanie zależności arytmetycznej \(2b=\frac{2a+c+1}{2}\) albo geometrycznej \(b^2=ac\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Nieodrzucenie ujemnego rozwiązania ogranicza ocenę do \(4\) punktów
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
