Zadanie 12 – matura z matematyki czerwiec 2023, poziom rozszerzony

\[|AB|=2\sqrt{10},\qquad |BC|=3\sqrt6,\qquad |CD|=\sqrt{10},\qquad |AD|=2\sqrt6.\]

Trójkąty \(ABD\) i \(BCD\) są prostokątne, więc \(BD\) jest średnicą okręgu i \(|BD|=8\). Z warunków zadania: \[|DE|=2,\qquad |BE|=6,\qquad |AE|=4.\] Niech \(S\) będzie środkiem okręgu, a \(AP\) wysokością trójkąta \(ASE\). Ponieważ \(|AS|=|AE|=4\) i \(|ES|=2\), mamy \(|EP|=|PS|=1\), zatem \[|AP|^2=4^2-1^2=15.\] Ponieważ \(|PB|=5\) i \(|PD|=3\): \[|AB|=\sqrt{15+25}=2\sqrt{10},\qquad |AD|=\sqrt{15+9}=2\sqrt6.\] Trójkąty \(DEC\) i \(BEA\) są podobne w skali \(\frac12\), więc \[|CD|=\frac12|AB|=\sqrt{10}.\] W prostokątnym trójkącie \(BCD\): \[|BC|=\sqrt{|BD|^2-|CD|^2}=\sqrt{64-10}=3\sqrt6.\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie cztery długości **4 pkt** – obliczenie \(|AB|\), \(|AD|\) oraz spełnienie jednego dodatkowego kryterium CKE: \(|CE|=3\), skala podobieństwa \(\frac12\) albo poprawna zależność opisująca pozostałe boki **3 pkt** – obliczenie \(|AB|=2\sqrt{10}\) i \(|AD|=2\sqrt6\) **2 pkt** – obliczenie \(|AP|=\sqrt{15}\), albo \(|CE|=3\), albo skali \(\frac12\), albo wyznaczenie \(|DE|=2\), \(|BE|=6\), \(|AE|=4\) wraz z odpowiednim układem równań **1 pkt** – wyznaczenie \(|DE|=2\), \(|BE|=6\), \(|AE|=4\), albo zauważenie podobieństwa, albo zapisanie twierdzenia o odcinkach siecznych **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VIII.R1) Zdający stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.