Nierówności
Zadanie 16, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Ciąg jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{(n-2)}{3}\) dla \(n \geq 1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa
A. \(28\)
B. \(31\)
C. \(32\)
D. \(27\)
Odpowiedź
B. \(31\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie brzmi: ile wyrazów ciągu jest mniejszych od \(10\). Zamiast wypisywać wyrazy po kolei, układamy nierówność \(a_n\lt10\) i sprawdzamy, dla ilu liczb naturalnych \(n\geqslant1\) jest ona spełniona.
**Krok \(2\).** Podstawiamy wzór ciągu:
\[\frac{n-2}{3}\lt10.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(3\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian:
\[n-2\lt30.\]
**Krok \(4\).** Dodajemy \(2\) do obu stron:
\[n\lt32.\]
**Krok \(5\).** Wracamy do warunku z treści: \(n\) jest liczbą naturalną i \(n\geqslant1\). Liczby naturalne spełniające \(1\leqslant n\lt32\) to
\[n\in\{1,2,3,\ldots,31\},\]
czyli jest ich \(31\).
**Krok \(6\).** Kontrola na brzegu. Dla \(n=31\): \(a_{31}=\frac{29}{3}=9\tfrac23\lt10\) — ten wyraz się liczy. Dla \(n=32\): \(a_{32}=\frac{30}{3}=10\), a \(10\) nie jest mniejsze od \(10\) — ten wyraz już nie.
**Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc wyrazu równego \(10\) nie liczymy. To właśnie różnica między poprawnym \(31\) a kuszącym \(32\).
**Odpowiedź.** B: \(31\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.
