Ciągi
Zadanie 32, czerwiec 2022, poziom podstawowy
Trójwyrazowy ciąg
\[(x,\ 3x+2,\ 9x+16)\]
jest geometryczny. **Oblicz \(x\).**
Odpowiedź
\[x=1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych:
\[(3x+2)^2=x(9x+16).\]
Po rozwinięciu stron otrzymujemy
\[9x^2+12x+4=9x^2+16x,\]
\[4x=4,\qquad x=1.\]
Dla \(x=1\) otrzymujemy ciąg \((1,5,25)\), który jest geometryczny.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie warunku ciągu geometrycznego i obliczenie wszystkich wartości: \(x=1\)
**1 pkt** – zapisanie równania \((3x+2)^2=x(9x+16)\) albo równoważnego układu z ilorazem \(q\)
**0 pkt** – podanie jedynie wyniku \(x=1\) bez metody
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.
