Trójkąty
Zadanie 33, czerwiec 2022, poziom podstawowy
Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\). Podstawa \(AB\) tego trapezu jest równa \(26\), a ramię \(BC\) ma długość \(24\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest prostopadła do ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). **Oblicz długość ramienia \(AD\).**
Odpowiedź
\[|AD|=\frac{120}{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny w punkcie \(C\), dlatego
\[|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2,\]
\[|AC|^2+24^2=26^2,\qquad |AC|=10.\]
Ponieważ \(AB\parallel CD\), trójkąty \(DCA\) i \(CAB\) są podobne. Stąd
\[\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|AB|},\]
\[\frac{|AD|}{10}=\frac{24}{26}.\]
Zatem
\[|AD|=\frac{120}{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(|AD|=10\cdot\frac{24}{26}=\frac{120}{13}\)
**1 pkt** – obliczenie \(|AC|=10\), wskazanie podobieństwa trójkątów \(DCA\) i \(CAB\) albo zapisanie poprawnej proporcji odpowiednich boków
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3 rozpoznawanie trójkątów podobnych i wykorzystywanie cech podobieństwa.
