Ciąg geometryczny
Zadanie 33, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Dodatni ciąg geometryczny \((a_n)\) spełnia warunek
\[6a_1-5a_2+a_3=0.\]
Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu, wiedząc, że
\[q\in(2\sqrt2,3\sqrt2).\]
Odpowiedź
\[q=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla ciągu geometrycznego
\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2.\]
Podstawiamy te zależności do warunku zadania:
\[6a_1-5a_1q+a_1q^2=0,\]\[a_1(q^2-5q+6)=0.\]
Ciąg jest dodatni, więc \(a_1>0\). Możemy zatem podzielić przez \(a_1\):
\[q^2-5q+6=0,\qquad (q-2)(q-3)=0.\]
Stąd \(q=2\) lub \(q=3\). Ponieważ
\[2\notin(2\sqrt2,3\sqrt2),\qquad 3\in(2\sqrt2,3\sqrt2),\]
warunki zadania spełnia tylko \(q=3\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie ilorazu \(q=3\) z uwzględnieniem podanego przedziału
**3 pkt** – rozwiązanie równania \(q^2-5q+6=0\) i otrzymanie \(q=2\) lub \(q=3\)
**2 pkt** – zapisanie warunku w postaci \(a_1(q^2-5q+6)=0\)
**1 pkt** – zapisanie \(a_2=a_1q\) oraz \(a_3=a_1q^2\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.
