Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 34, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość \(6\). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{32\sqrt7}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(h\) wysokość ostrosłupa.
Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy występuje w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(h\) oraz \(\tfrac{a}{2}\) (odległość środka podstawy od środka jej boku):
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{\tfrac a2}=\sqrt7,\qquad h=\frac{a\sqrt7}{2}.\]
Krawędź boczna, wysokość ostrosłupa i połowa przekątnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny:
\[h^{2}+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^{2}=6^{2},\qquad \frac{7a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{2}=36,\qquad \frac{9a^{2}}{4}=36.\]
Stąd \(a^{2}=16\), czyli \(a=4\) oraz \(h=2\sqrt7\).
Objętość wynosi
\[V=\tfrac13 a^{2}h=\tfrac13\cdot16\cdot2\sqrt7=\frac{32\sqrt7}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(V=\dfrac{32\sqrt7}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami oraz oblicza miary tych kątów (9.2). 6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów od 0° do 180° (6.1).
