Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 32, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(5,-\frac53)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu
\[y=\frac43x.\]
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).
Odpowiedź
Punkt przecięcia przekątnych:
\[O=\left(1,\frac43\right).\]
Pole kwadratu:
\[P=50.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątne kwadratu są prostopadłe. Prosta \(BD\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac43\), więc prosta \(AC\) ma współczynnik \(-\frac34\). Ponieważ przechodzi przez punkt \(A=(5,-\frac53)\), jej równanie ma postać
\[y+\frac53=-\frac34(x-5),\]\[y=-\frac34x+\frac{25}{12}.\]
Punkt \(O\) jest przecięciem prostych \(AC\) i \(BD\), więc rozwiązujemy
\[\frac43x=-\frac34x+\frac{25}{12}.\]
Po pomnożeniu przez \(12\) otrzymujemy \(16x=-9x+25\), stąd \(x=1\) i \(y=\frac43\). Zatem
\[O=\left(1,\frac43\right).\]
Długość połowy przekątnej wynosi
\[|AO|=\sqrt{(5-1)^2+\left(-\frac53-\frac43\right)^2}=\sqrt{16+9}=5.\]
Cała przekątna ma długość \(d=10\), więc pole kwadratu wynosi
\[P=\frac{d^2}{2}=\frac{10^2}{2}=50.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(O=(1,\frac43)\) oraz pola kwadratu \(P=50\)
**3 pkt** – obliczenie punktu \(O\) i długości przekątnej \(10\) albo równoważny istotny etap prowadzący do obu wyników
**2 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AC\) i punktu \(O=(1,\frac43)\) albo obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej \(BD\) oraz pola \(50\)
**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AC\) albo obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej \(BD\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.3, 8.4 i 8.5 wyznaczanie równania prostej prostopadłej, punktu przecięcia prostych i środka odcinka.
