Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 9, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru \(\{0,1,3,5,7,9\}\), losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa \(3\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{22}{5\cdot6^7}=\frac{11}{699840}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwszą cyfrę ośmiocyfrowej liczby wybieramy na \(5\) sposobów, a każdą z pozostałych siedmiu na \(6\) sposobów, więc
\[|\Omega|=5\cdot6^7.\]
Suma cyfr jest równa \(3\) w dwóch przypadkach:
- liczba ma postać \(30000000\), co daje \(1\) możliwość;
- pierwszą cyfrą jest \(1\), a na dwóch spośród pozostałych siedmiu miejsc stoją cyfry \(1\), co daje \(\binom72=21\) możliwości.
Stąd
\[|A|=1+\binom72=22\]
i
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{22}{5\cdot6^7}=\frac{11}{699840}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(P(A)=\frac{22}{5\cdot6^7}\)
**3 pkt** – zapisanie \(|\Omega|=5\cdot6^7\) oraz \(|A|=1+\binom72\)
**2 pkt** – poprawne policzenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i wskazanie obu przypadków sprzyjających albo poprawne wyznaczenie \(|A|=22\)
**1 pkt** – zapisanie \(|\Omega|=5\cdot6^7\) albo wskazanie obu rodzajów liczb o sumie cyfr równej \(3\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa - reguła mnożenia, symbol Newtona i klasyczne prawdopodobieństwo.
