Funkcje
Zadanie 13.2, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku zmniejsza się o połowę. Po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku zmienia się zgodnie z zależnością
\[m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{t/T},\]
gdzie \(m_0\) oznacza masę przyjętej dawki, \(T\) - czas półtrwania, a \(t\) - czas od przyjęcia dawki. Pacjent otrzymuje co \(4\) dni o tej samej godzinie dawkę \(m_0=100\text{ mg}\) leku \(L\). Czas półtrwania leku wynosi \(T=4\) doby.
**Zadanie \(13\).\(2\).**
Oblicz masę leku \(L\) w organizmie pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(0{,}1\text{ mg}\). **Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\(99{,}9\text{ mg}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Jedenasta dawka jest przyjmowana po \(40\) dniach od pierwszej. Tuż przed jej przyjęciem z kolejnych dziesięciu dawek pozostają masy
\[100\left(\frac12\right)^{10},\ 100\left(\frac12\right)^9,\ldots,100\left(\frac12\right).\]
Jest to suma dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego:
\[M=100\sum_{j=1}^{10}\left(\frac12\right)^j=100\cdot\frac12\cdot\frac{1-(\frac12)^{10}}{1-\frac12}.\]
Po uproszczeniu
\[M=100\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)=99{,}90234375\text{ mg}\approx99{,}9\text{ mg}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(99{,}9\text{ mg}\)
**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapis \[100\cdot\frac12\cdot\frac{1-(\frac12)^{10}}{1-\frac12}.\]
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie mas pozostałych z poszczególnych dawek: \(100(\frac12)^{10},100(\frac12)^9,\ldots,100(\frac12)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.5 stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
