Liczby rzeczywiste
Zadanie 14, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{3n+9}{n+1}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
**Wyznacz wszystkie wartości** \(\mathbf{x}\)**, dla których trzywyrazowy ciąg**
\[(a_5,\;2x^{2},\;3x^{2}+5)\]
**jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=-3\quad\text{lub}\quad x=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy
\[a_5=\frac{3\cdot5+9}{5+1}=4.\]
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych:
\[2x^2=\frac{4+(3x^2+5)}{2}.\]
Stąd \(4x^2=3x^2+9\), więc \(x^2=9\). Zatem
\[x=-3\quad\text{lub}\quad x=3.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik: \(x=-3\) oraz \(x=3\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego równania wynikającego z własności ciągu arytmetycznego
**1 pkt** – obliczenie \(a_5=4\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych do rozwiązywania zadań.
