Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy
Dane są zbiory liczb całkowitych: \(\{1,2,3,4,5\}\) i \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\). Z każdego z tych zbiorów wybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(5\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac7{35}=\frac15.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z każdego zbioru wybieramy po jednej liczbie niezależnie, więc zdarzeniami elementarnymi są pary uporządkowane \((a,b)\), gdzie \(a\in\{1,2,3,4,5\}\) i \(b\in\{1,2,\ldots,7\}\). Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne, a z reguły mnożenia
\[|\Omega|=5\cdot7=35.\]
Suma \(a+b\) przyjmuje wartości od \(2\) do \(12\), więc podzielna przez \(5\) jest wtedy, gdy wynosi \(5\) albo \(10\). Wypisujemy pary sprzyjające:
\[(1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1),\ (3,7),\ (4,6),\ (5,5),\]
czyli \(|A|=7\).
Zatem
\[P(A)=\frac{7}{35}=\frac15.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac15\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie, że w tym doświadczeniu jest \(35\) zdarzeń elementarnych
**1 pkt** – zapisanie, że zdarzeniu \(A\) sprzyja \(7\) zdarzeń elementarnych
**1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac7{35}=\frac15\)
Łącznie \(3\) pkt.
**II sposób (metoda drzewa).** Punktowany równoważnie: \(1\) pkt za narysowanie drzewa (wystarczą gałęzie istotne), \(1\) pkt za zapisanie szukanego prawdopodobieństwa jako sumy siedmiu iloczynów \(\frac15\cdot\frac17\), \(1\) pkt za obliczenie \(P(A)=\frac15\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
