Trójkąty
Zadanie 37, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(\angle ACB=90^\circ\), \(|AC|=5\) oraz \(|BC|=12\), zbudowano kwadrat \(ACDE\) (zobacz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i \(\angle EHA=90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\).
Odpowiedź
\[P_{HAE}=\frac{750}{169}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty prostokątne \(EAH\) i \(ABC\) są podobne, ponieważ \(\angle EHA=\angle ACB=90^\circ\), a \(\angle EAH=\angle ABC\) jako kąty o ramionach równoległych. Z twierdzenia Pitagorasa
\[|AB|=\sqrt{5^2+12^2}=13.\]
Bok kwadratu ma długość \(|AE|=|AC|=5\), więc skala podobieństwa trójkąta \(EAH\) do \(ABC\) jest równa
\[s=\frac{|AE|}{|AB|}=\frac5{13}.\]
Pole trójkąta \(ABC\) wynosi
\[P_{ABC}=\frac12\cdot5\cdot12=30.\]
Pola figur podobnych są w stosunku kwadratu skali, zatem
\[P_{HAE}=s^2P_{ABC}=\left(\frac5{13}\right)^2\cdot30=\frac{750}{169}.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne pole \(\frac{750}{169}\) z pełnym uzasadnieniem podobieństwa
**3 pkt** – poprawna skala \(\frac5{13}\) i zastosowanie kwadratu skali z drobnym błędem rachunkowym
**2 pkt** – wykazanie podobieństwa trójkątów i obliczenie \(|AB|=13\)
**1 pkt** – rozpoznanie odpowiednich kątów lub poprawne obliczenie przeciwprostokątnej
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje, także w kontekstach praktycznych, cechy podobieństwa trójkątów.
