Ostrosłupy
Zadanie 101, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC|:|AS|=10:13\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[P_b=20\sqrt{313}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(|AC|:|AS|=10:13\) przyjmijmy \(|AC|=10k\) oraz \(|AS|=|CS|=13k\). Trójkąt \(ACS\) jest równoramienny, a jego wysokość opuszczona z \(S\) dzieli podstawę na połowy:
\[h_{ACS}=\sqrt{(13k)^{2}-(5k)^{2}}=12k.\]
Z pola trójkąta
\[\frac12\cdot10k\cdot12k=120\quad\Longrightarrow\quad 60k^{2}=120\quad\Longrightarrow\quad k^{2}=2,\]
czyli \(k=\sqrt2\), \(|AC|=10\sqrt2\) oraz \(|AS|=13\sqrt2\).
Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratowej podstawy, więc jej bok wynosi
\[a=\frac{|AC|}{\sqrt2}=10.\]
Wysokość ściany bocznej (z trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej \(|AS|\) i przyprostokątnej \(\frac a2=5\)):
\[h=\sqrt{\left(13\sqrt2\right)^{2}-5^{2}}=\sqrt{338-25}=\sqrt{313}.\]
Pole powierzchni bocznej:
\[P_b=4\cdot\frac{a h}2=2\cdot10\cdot\sqrt{313}=20\sqrt{313}.\]
**Odpowiedź.** \(P_b=20\sqrt{313}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(20\sqrt{313}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.
