Ciąg arytmetyczny
Zadanie 18, wrzesień 2020, poziom podstawowy
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), są dane dwa wyrazy:
\[a_1=2\qquad\text{oraz}\qquad a_2=5.\]
Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem
**A.** \(a_n=3n-1\)
**B.** \(a_n=3n+2\)
**C.** \(a_n=2n+3\)
**D.** \(a_n=2n-1\)
Odpowiedź
**A.** \(a_n=3n-1\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg jest arytmetyczny, więc jego wyraz ogólny ma postać
\[a_n=a_1+(n-1)r,\]
gdzie \(r\) to różnica ciągu. Pierwszy wyraz znamy, więc brakuje nam tylko \(r\).
**Krok \(2\).** W ciągu arytmetycznym różnica to odległość między dwoma kolejnymi wyrazami:
\[r=a_2-a_1=5-2=3.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy \(a_1=2\) i \(r=3\) do wzoru ogólnego:
\[a_n=2+(n-1)\cdot 3.\]
**Krok \(4\).** Upraszczamy, wymnażając nawias:
\[a_n=2+3n-3=3n-1.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy na danych z treści: \(a_1=3\cdot 1-1=2\) oraz \(a_2=3\cdot 2-1=5\). Oba wyrazy się zgadzają.
**Uwaga.** Jeśli nie pamiętasz wzoru, wystarczy podstawić \(n=1\) i \(n=2\) do każdej z czterech odpowiedzi i sprawdzić, która daje \(2\) i \(5\). Uwaga na odpowiedź C: \(2\cdot 1+3=5\) - pasuje do drugiego wyrazu, ale nie do pierwszego, więc trzeba sprawdzić oba.
**Odpowiedź.** A: \(a_n=3n-1\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.
