Ciąg arytmetyczny
Zadanie 32, sierpień 2025, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=\frac{32\cdot(-1)^{n}}{2^{n-1}}\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Trzywyrazowy ciąg \((x,a_6,2x+10)\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.
Oblicz \(x\) oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.
Odpowiedź
Najpierw
\[a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^5}=1.\]
Warunek arytmetyczności ciągu \((x,1,2x+10)\) daje \(2=x+(2x+10)\), więc \(x=-\frac83\). Różnica wynosi
\[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy szósty wyraz ciągu \((a_n)\). Wykładnik \(6\) jest parzysty, więc \((-1)^{6}=1\):
\[a_6=\frac{32\cdot(-1)^{6}}{2^{5}}=\frac{32}{32}=1.\]
W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc dla trójki \((x,1,2x+10)\)
\[2\cdot1=x+(2x+10),\qquad 2=3x+10,\qquad 3x=-8,\qquad x=-\frac83.\]
Różnica tego ciągu arytmetycznego wynosi
\[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}3.\]
**Odpowiedź.** \(x=-\frac83\), \(r=\frac{11}3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie a₆ = 1 albo zapisanie poprawnej zależności wynikającej z arytmetyczności.
2 pkt: obliczenie a₆ = 1 i zapisanie równania, np. (x + 2x + 10)/2 = a₆.
3 pkt: obliczenie x = −8/3 albo r = 11/3.
4 pkt: poprawna metoda i oba wyniki: x = −8/3 oraz r = 11/3.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
