Geometria analityczna
Zadanie 34, sierpień 2025, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(-4,7)\) oraz \(B=(12,3)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(C\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(D\).
Oblicz współrzędne punktów \(C\) i \(D\) oraz pole trójkąta \(ACD\).
Odpowiedź
\[C=(24,0),\qquad D=\left(\frac{11}4,0\right),\qquad P_{ACD}=\frac{595}8.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi
\[a=\frac{3-7}{12-(-4)}=-\frac14,\]
więc \(y=-\frac14x+b\), a z warunku \(7=-\frac14\cdot(-4)+b\) otrzymujemy \(b=6\) i \(AB:\ y=-\frac14x+6\). Dla \(y=0\) mamy \(x=24\), czyli \(C=(24,0)\).
Środek odcinka \(AB\) to \(M=(4,5)\). Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(4\):
\[y-5=4(x-4),\qquad\text{czyli}\qquad y=4x-11.\]
Dla \(y=0\) otrzymujemy \(x=\frac{11}4\), czyli \(D=\left(\frac{11}4,0\right)\).
Bok \(CD\) leży na osi \(Ox\), a wysokością trójkąta \(ACD\) opuszczoną na ten bok jest odległość punktu \(A\) od osi \(Ox\), równa \(7\):
\[|CD|=24-\frac{11}4=\frac{85}4,\qquad P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{85}4\cdot7=\frac{595}8.\]
**Odpowiedź.** \(C=(24,0)\), \(D=\left(\frac{11}4,0\right)\), \(P_{ACD}=\frac{595}8\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: istotny poprawny etap, np. C = (24, 0), M = (4, 5) albo współczynnik kierunkowy AB równy −1/4.
2 pkt: C = (24, 0) i kolejny poprawny etap prowadzący do D albo równanie symetralnej y = 4x − 11.
3 pkt: C = (24, 0) i równanie symetralnej y = 4x − 11 albo D = (11/4, 0).
4 pkt: poprawne współrzędne C = (24, 0) oraz D = (11/4, 0).
5 pkt: poprawna metoda i wyniki C = (24, 0), D = (11/4, 0), P△ACD = 595/8.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymaganie szczegółowe: 8.1) Wyznacza równanie prostej przez dwa punkty; 8.3) wyznacza prostą prostopadłą; 8.4) oblicza punkt przecięcia prostych; 8.6) oblicza odległość punktów.
