Trójkąty
Zadanie 34, sierpień 2024, poziom podstawowy
Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości \(|AB|=12\) oraz \(|CD|=6\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(24\). Na odcinku \(AD\) leży punkt \(E\) taki, że
\[|\angle BEA|=|\angle CED|.\]
**Oblicz długość odcinka \(BE\).**
Odpowiedź
\[|BE|=20.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty \(ABE\) oraz \(DCE\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Z podobieństwa
\[\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|DE|}{|CD|}.\]
Ponieważ \(|AD|=24\), mamy \(|DE|=24-|AE|\), więc
\[\frac{|AE|}{12}=\frac{24-|AE|}{6}.\]
Stąd
\[|AE|=48-2|AE|,\qquad 3|AE|=48,\qquad |AE|=16.\]
Trójkąt \(ABE\) jest prostokątny, zatem
\[|BE|=\sqrt{|AB|^2+|AE|^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i obliczenie długości odcinka \(BE\): \(|BE|=20\)
**1 pkt** – obliczenie \(|DE|=8\) albo \(|AE|=16\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, podanie samego wyniku bez poprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3) Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów.
