Okręgi i koła
Zadanie 33, sierpień 2019, poziom podstawowy
Środek okręgu leży w odległości \(10\) cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest
o \(22\) cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
Odpowiedź
r=\(26\) cm
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy jest do niej prostopadły i dzieli ją na połowy. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(10\ \mathrm{cm}\) i połowie cięciwy oraz przeciwprostokątnej równej promieniowi \(r\).
Cięciwa ma długość \(r+22\), więc jej połowa to \(\frac{r+22}{2}\) i z twierdzenia Pitagorasa
\[r^2=\left(\frac{r+22}{2}\right)^2+10^2.\]
Po pomnożeniu przez \(4\):
\[4r^2=r^2+44r+484+400,\qquad 3r^2-44r-884=0.\]
\[\Delta=44^2+4\cdot3\cdot884=12544,\qquad \sqrt{\Delta}=112,\]
\[r=\frac{44+112}{6}=26\qquad\text{albo}\qquad r=\frac{44-112}{6}=-\frac{34}{3}.\]
Promień jest długością, więc drugie rozwiązanie odrzucamy.
Sprawdzenie: cięciwa ma \(48\ \mathrm{cm}\), a \(24^2+10^2=676=26^2\).
**Odpowiedź.** \(r=26\ \mathrm{cm}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – zapisanie równania \(r^2=\left(\frac{r+22}{2}\right)^2+10^2\) wynikającego z twierdzenia Pitagorasa.
**4 pkt** – rozwiązanie równania i odrzucenie pierwiastka ujemnego: \(r=26\ \mathrm{cm}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
