Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 12, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Dane jest równanie postaci \(a^{2}\cdot x-1=x+a\), w którym niewiadomą jest \(x\). Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru \(a\).
Odpowiedź
Dla \(a=1\) równanie nie ma rozwiązań; dla \(a=-1\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (spełnia je każda liczba rzeczywista); dla \(a\ne1\) i \(a\ne-1\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=\dfrac{1}{a-1}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Niewiadomą jest \(x\), a litera \(a\) to parametr, czyli ustalona, choć nieznana liczba. Po uporządkowaniu \(x\) będzie występował tylko w pierwszej potędze, więc jest to równanie liniowe z parametrem. Takie równania zawsze sprowadzamy do postaci \(Ax=B\) i badamy, czy współczynnik \(A\) jest zerem, bo od tego zależy liczba rozwiązań.
**Krok \(2\).** Przenosimy wyrazy z \(x\) na lewą stronę, a resztę na prawą:
\[a^2x-1=x+a,\qquad a^2x-x=a+1.\]
**Krok \(3\).** Wyłączamy \(x\) przed nawias:
\[\left(a^2-1\right)x=a+1.\]
Rozkładamy jeszcze współczynnik przy \(x\) na czynniki:
\[(a-1)(a+1)x=a+1.\]
**Krok \(4\).** Współczynnik \((a-1)(a+1)\) zeruje się dokładnie dla \(a=1\) i dla \(a=-1\). To są przypadki szczególne, które trzeba rozpatrzyć osobno. Dla pozostałych \(a\) wolno podzielić obie strony przez ten współczynnik.
**Krok \(5\).** Przypadek \(a\ne 1\) i \(a\ne -1\). Dzielimy i skracamy czynnik \(a+1\):
\[x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a-1}.\]
Równanie ma wtedy dokładnie jedno rozwiązanie.
**Krok \(6\).** Przypadek \(a=1\). Wtedy \(a^2-1=0\) oraz \(a+1=2\), czyli równanie przyjmuje postać
\[0\cdot x=2.\]
Żadna liczba pomnożona przez zero nie daje \(2\), więc równanie nie ma rozwiązań.
**Krok \(7\).** Przypadek \(a=-1\). Wtedy \(a^2-1=0\) oraz \(a+1=0\), czyli równanie przyjmuje postać
\[0\cdot x=0.\]
Ta równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), więc równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
**Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to podzielenie obu stron przez \(a^2-1\) bez sprawdzenia, czy ta liczba jest różna od zera. Wtedy gubi się oba przypadki szczególne, a to one są sednem zadania.
**Odpowiedź.** Dla \(a=1\) równanie nie ma rozwiązań; dla \(a=-1\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (spełnia je każda liczba rzeczywista); dla \(a\ne 1\) i \(a\ne -1\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=\frac{1}{a-1}\).
Klucz i zasady oceniania
**6. (1 pkt)** – zapisanie, że dla \(a=1\) dane równanie nie ma żadnego rozwiązania.
**7. (1 pkt)** – zapisanie, że dla \(a=-1\) dane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
**8. (1 pkt)** – zapisanie, że dla \(a\neq 1\) i \(a\neq -1\) dane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
