Ciąg arytmetyczny
Zadanie 12, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Czterowyrazowy ciąg \((a,b,c,d)\) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg \((a+100,b,c)\) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu \((a,b,c,d)\).
Odpowiedź
\[(a,b,c,d)=(-36,144,324,504).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r>0\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Wtedy
\[b=a+r,\qquad c=a+2r,\qquad d=a+3r.\]
Warunek dotyczący kwadratów daje
\[(a+3r)^2=2\bigl(a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2\bigr).\]
Po uporządkowaniu:
\[5a^2+6ar+r^2=0,\qquad(5a+r)(a+r)=0.\]
Zatem \(a=-r\) albo \(a=-\frac15r\).
Dla \(a=-r\) mamy \(b=0\), \(c=r\). Warunek geometryczności trójki \((a+100,b,c)\) daje
\[0^2=(100-r)r.\]
Ponieważ \(r>0\), musiałoby być \(r=100\), lecz trójka \((0,0,100)\) nie jest geometryczna. Ten przypadek odrzucamy.
Dla \(a=-\frac15r\) mamy
\[b=\frac45r,\qquad c=\frac95r,\qquad d=\frac{14}{5}r.\]
Warunek geometryczności daje
\[\left(\frac45r\right)^2=\left(100-\frac15r\right)\frac95r.\]
Dla \(r>0\) równanie upraszcza się do \(r=180\). Stąd
\[a=-36,\qquad b=144,\qquad c=324,\qquad d=504.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie wszystkich wyrazów: \((-36,144,324,504)\)
**4 pkt** – wyznaczenie \(r=180\) i odrzucenie przypadków niespełniających warunków zadania
**3 pkt** – wyrażenie jednego z wyrazów przez \(r\), np. \(a=-r\) lub \(a=-\frac15r\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego równania po podstawieniu wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego
**1 pkt** – zapisanie \(d^2=2(a^2+b^2+c^2)\) albo \(b^2=(a+100)c\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5.2, 5.3 i 5.4 badanie ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz stosowanie wzorów na ich wyrazy.
