Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 13, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach
\[y=x+b,\qquad y=x+2b,\qquad y=b,\qquad y=2,\]
gdzie liczba rzeczywista \(b\) spełnia warunki \(b\neq2\) i \(b\neq0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(b\), dla których pole tego równoległoboku jest równe \(1\).
Odpowiedź
\[b\in\{1-\sqrt2,\ 1,\ 1+\sqrt2\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Proste \(y=b\) i \(y=2\) są równoległe, podobnie jak proste \(y=x+b\) i \(y=x+2b\). Długość poziomego boku równoległoboku wynosi \(|b|\), a jego wysokość jest równa odległości między prostymi poziomymi, czyli \(|b-2|\). Pole ma więc postać
\[P=|b|\,|b-2|=|b(b-2)|.\]
Warunek \(P=1\) jest równoważny alternatywie
\[b(b-2)=1\quad\text{lub}\quad b(b-2)=-1.\]
Z pierwszego równania:
\[b^2-2b-1=0,\qquad b=1-\sqrt2\quad\text{lub}\quad b=1+\sqrt2.\]
Z drugiego równania:
\[b^2-2b+1=0,\qquad(b-1)^2=0,\qquad b=1.\]
Wszystkie trzy wartości spełniają warunki \(b\neq0\) i \(b\neq2\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – wyznaczenie \(b=1-\sqrt2\), \(b=1\), \(b=1+\sqrt2\)
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z równań \(b(b-2)=1\) lub \(b(b-2)=-1\)
**3 pkt** – zapisanie obu równań wynikających z wartości bezwzględnej
**2 pkt** – zapisanie pola w postaci \(P=|b|\,|b-2|\)
**1 pkt** – wyznaczenie długości podstawy \(|b|\) albo wysokości \(|b-2|\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.6 i R3.8 obliczanie odległości oraz rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.
