Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 11, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) zmiennej rzeczywistej \(x\) jest określona wzorem
\[f(x)=x^2-3x-m^2+m+3.\]
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dwa różne miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek**
\[\left|x_1^2-x_2^2\right|\leq12.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[m\in\left[\frac{1-2\sqrt5}{2},-\frac12\right)\cup\left(\frac32,\frac{1+2\sqrt5}{2}\right].\]
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(f\) ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu jest dodatni:
\[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-m^2+m+3)=4m^2-4m-3.\]
Rozwiązujemy nierówność
\[4m^2-4m-3>0,\]
co daje
\[m\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(\frac32,+\infty\right).\]
Korzystamy ze wzorów Viète'a:
\[x_1+x_2=3,\qquad x_1x_2=-m^2+m+3.\]
Warunek z zadania przekształcamy:
\[|x_1^2-x_2^2|=|x_1-x_2|\cdot|x_1+x_2|\leq12.\]
Ponieważ \(|x_1+x_2|=3\), mamy
\[|x_1-x_2|\leq4.\]
Po podniesieniu obu stron do kwadratu:
\[(x_1-x_2)^2\leq16,\]
\[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq16.\]
Podstawiamy wzory Viète'a:
\[3^2-4(-m^2+m+3)\leq16,\]
\[4m^2-4m-19\leq0.\]
Pierwiastki trójmianu to
\[m_1=\frac{1-2\sqrt5}{2},\qquad m_2=\frac{1+2\sqrt5}{2},\]
więc
\[m\in\left[\frac{1-2\sqrt5}{2},\frac{1+2\sqrt5}{2}\right].\]
Przecinamy ten przedział ze zbiorem wynikającym z warunku \(\Delta>0\). Ostatecznie
\[m\in\left[\frac{1-2\sqrt5}{2},-\frac12\right)\cup\left(\frac32,\frac{1+2\sqrt5}{2}\right].\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt łącznie, w trzech etapach.**
**Etap I: 1 pkt** – poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\): \(m\in(-\infty,-\frac12)\cup(\frac32,+\infty)\)
**Etap II: 3 pkt** –
**3 pkt** – za rozwiązanie nierówności \(4m^2-4m-19\leq0\), czyli \(m\in[\frac{1-2\sqrt5}{2},\frac{1+2\sqrt5}{2}]\)
**2 pkt** – za zapisanie poprawnej nierówności z jedną niewiadomą równoważnej warunkowi
**1 pkt** – za przekształcenie \(|x_1^2-x_2^2|\leq12\) do postaci umożliwiającej bezpośrednie użycie wzorów Viète'a, na przykład \(|x_1-x_2|\cdot|x_1+x_2|\leq12\)
**Etap III: 1 pkt** – poprawne wyznaczenie części wspólnej obu zbiorów: \([\frac{1-2\sqrt5}{2},-\frac12)\cup(\frac32,\frac{1+2\sqrt5}{2}]\)
**W każdym etapie: 0 pkt** – za niepoprawną metodę albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R3) Zdający stosuje wzory Viète'a dla równań kwadratowych. III.R5) Zdający analizuje równania kwadratowe z parametrami.
