Ciąg arytmetyczny
Zadanie 15, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Trzywyrazowy ciąg
\[(5m,\ 4+2m,\ m)\]
jest arytmetyczny, gdy liczba \(m\) jest równa
**A.** \(-4\)
**B.** \(-1\)
**C.** \(1\)
**D.** \(4\)
Odpowiedź
**D.** \(4\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Wygodniej zapisać to bez ułamka — podwojony wyraz środkowy równa się sumie wyrazów skrajnych.
**Krok \(2\).** Zapisujemy ten warunek dla naszego ciągu \((5m,\ 4+2m,\ m)\):
\[2(4+2m)=5m+m.\]
**Krok \(3\).** Wykonujemy mnożenie po lewej stronie i redukcję po prawej:
\[8+4m=6m.\]
**Krok \(4\).** Przenosimy wyrazy z niewiadomą na jedną stronę:
\[8=6m-4m,\qquad 8=2m.\]
**Krok \(5\).** Stąd
\[m=4.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy. Dla \(m=4\) ciąg to \((20,\ 12,\ 4)\), a różnice kolejnych wyrazów wynoszą \(12-20=-8\) oraz \(4-12=-8\) — są równe, więc ciąg jest arytmetyczny.
**Uwaga.** Ujemna różnica niczego nie psuje: ciąg malejący również jest arytmetyczny. Warunek można też zapisać w postaci \(a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\), czyli \((4+2m)-5m=m-(4+2m)\) — prowadzi to do tego samego równania.
**Odpowiedź.** D. \(m=4\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych do rozwiązywania zadań.
