Trójkąty
Zadanie 8, maj 2026, poziom rozszerzony
Punkty \(K\) i \(L\) są środkami odpowiednio boków \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(M\) jest takim punktem na boku \(BC\), że odcinki \(DK\) i \(KM\) są prostopadłe. Odcinek \(AL\) przecina odcinki \(DK\) oraz \(DM\) w punktach odpowiednio \(P\) oraz \(Q\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że
\[\lvert PQ\rvert=\frac{\sqrt{5}}{5}a.\]
Odpowiedź
\[\lvert PQ\rvert=\frac{\sqrt{5}}{5}a.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Umieśćmy kwadrat w układzie współrzędnych: \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(C=(a,a)\), \(D=(0,a)\). Wtedy \(K=\left(\frac a2,0\right)\) oraz \(L=\left(a,\frac a2\right)\).
Punkt \(M\) leży na boku \(BC\), więc \(M=(a,m)\). Warunek \(DK\perp KM\) zapisujemy jako zerowanie iloczynu skalarnego wektorów \(\vec{KD}=\left[-\frac a2,a\right]\) i \(\vec{KM}=\left[\frac a2,m\right]\):
\[-\frac{a^2}{4}+am=0,\qquad m=\frac a4,\qquad M=\left(a,\frac a4\right).\]
Prosta \(AL\) ma równanie \(y=\frac12x\).
Prosta \(DK\) przechodzi przez \((0,a)\) i \(\left(\frac a2,0\right)\), więc \(y=a-2x\). Punkt \(P\):
\[\tfrac12x=a-2x,\qquad x=\tfrac{2a}{5},\qquad P=\left(\tfrac{2a}{5},\tfrac a5\right).\]
Prosta \(DM\) przechodzi przez \((0,a)\) i \(\left(a,\frac a4\right)\), więc \(y=a-\frac34x\). Punkt \(Q\):
\[\tfrac12x=a-\tfrac34x,\qquad x=\tfrac{4a}{5},\qquad Q=\left(\tfrac{4a}{5},\tfrac{2a}{5}\right).\]
Stąd
\[\lvert PQ\rvert=\sqrt{\left(\tfrac{2a}{5}\right)^2+\left(\tfrac a5\right)^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{25}}=\frac{a}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}a,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\lvert PQ\rvert=\dfrac{\sqrt5}{5}a\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie położenia punktu \(M\) z warunku prostopadłości \(DK\perp KM\).
**2 pkt** – wyznaczenie punktów \(P\) i \(Q\).
**3 pkt** – obliczenie \(\lvert PQ\rvert=\frac{\sqrt5}{5}a\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
