Ciąg arytmetyczny
Zadanie 27, maj 2011, poziom podstawowy
Liczby \(x\), \(y\), \(19\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).
Odpowiedź
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi \(2y\) = x + \(19\). Razem z x + y = \(8\) otrzymujemy układ równań. Po podstawieniu x = \(8\) − y: \(2y\) = \(27\) − y, więc y = \(9\) i x = −\(1\).
Rozwiązanie krok po kroku
W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc
\[2y=x+19.\]
Razem z warunkiem \(x+y=8\) daje to układ równań. Podstawiamy \(x=8-y\):
\[2y=8-y+19,\qquad 3y=27,\qquad y=9,\]
a stąd \(x=8-9=-1\).
Sprawdzenie: ciąg \((-1,9,19)\) ma różnicę \(10\), a \(x+y=-1+9=8\).
**Odpowiedź.** \(x=-1\), \(y=9\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, np. zapisanie 2y = x + 19.
2 pkt: obliczenie x = −1 i y = 9.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własności trzech kolejnych wyrazów ciągu.
