Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 28, maj 2011, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i
\[
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=2.
\]
Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).
Odpowiedź
\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac12.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\) — oba mianowniki są różne od zera. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:
\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha},\]
gdzie w liczniku wykorzystaliśmy jedynkę trygonometryczną.
Z warunku zadania \(\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=2\), zatem
\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac12.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac12\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: sprowadzenie sumy do wspólnego mianownika albo zapisanie sin²α + cos²α = 2 sin α cos α.
2 pkt: obliczenie sin α cos α = 1/2.
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego.
