Ciąg arytmetyczny
Zadanie 12, maj 2011, poziom podstawowy
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o wyrazach dodatnich. Wtedy
**A.** \(a_4+a_7=a_{10}\)
**B.** \(a_4+a_6=a_3+a_8\)
**C.** \(a_2+a_9=a_3+a_8\)
**D.** \(a_5+a_7=2a_8\)
Odpowiedź
C. \(a_{2}\) + \(a_{9}\) = \(a_{3}\) + \(a_{8}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) wynika, że
\[a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r,\]
czyli suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich wskaźników. Ponieważ \(2+9=3+8=11\), zachodzi \(a_2+a_9=a_3+a_8\). Pozostałe równości nie są prawdziwe dla każdego takiego ciągu: np. w \(a_4+a_6=a_3+a_8\) sumy wskaźników wynoszą \(10\) i \(11\).
**Odpowiedź.** **C.** \(a_2+a_9=a_3+a_8\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
