Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, maj 2009, poziom rozszerzony
Przy dzieleniu wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(Q(x)=8x^2+4x-14\) oraz resztę \(R(x)=-5\). Oblicz pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Odpowiedź
\(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\), więc pierwiastkami są \(x=-\dfrac32\), \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co jest dane: iloraz i reszta z dzielenia. Korzystamy z twierdzenia o dzieleniu z resztą — jeśli wielomian \(W(x)\) dzielimy przez \(P(x)\) i otrzymujemy iloraz \(Q(x)\) oraz resztę \(R(x)\), to
\[W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x).\]
Znamy wszystkie trzy elementy prawej strony, więc możemy ODTWORZYĆ wielomian \(W(x)\), a dopiero potem szukać jego pierwiastków.
**Krok \(2\).** Zapisujemy wzór dla naszych danych:
\[W(x)=(x-1)\left(8x^2+4x-14\right)-5.\]
**Krok \(3\).** Wymnażamy i porządkujemy:
\[x\cdot(8x^2+4x-14)=8x^3+4x^2-14x,\]
\[-1\cdot(8x^2+4x-14)=-8x^2-4x+14,\]
\[W(x)=8x^3+4x^2-14x-8x^2-4x+14-5=8x^3-4x^2-18x+9.\]
**Krok \(4\).** Szukamy pierwiastków. Wielomian ma cztery wyrazy, więc próbujemy grupowania — pierwsze dwa i ostatnie dwa:
\[W(x)=4x^2(2x-1)-9(2x-1)=(2x-1)(4x^2-9).\]
**Krok \(5\).** Drugi czynnik to różnica kwadratów: \(4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)\). Zatem
\[W(x)=(2x-1)(2x-3)(2x+3).\]
**Krok \(6\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:
\[2x-1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac12,\qquad 2x-3=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac32,\qquad 2x+3=0\ \Rightarrow\ x=-\tfrac32.\]
**Uwaga.** Warto zwrócić uwagę, że reszta \(R(x)=-5\) jest liczbą stałą — tak być musi, bo dzielimy przez dwumian stopnia pierwszego, a reszta zawsze ma stopień mniejszy od dzielnika. Częsty błąd rachunkowy to zapomnienie o odjęciu \(5\) po wymnożeniu nawiasów albo mnożenie \(Q(x)\) przez \((x+1)\) zamiast przez \((x-1)\).
**Odpowiedź.** \(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\), więc pierwiastkami są \(x=-\dfrac32\), \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – jeśli zapisze wielomian \(W(x)\) w postaci wynikającej z warunków zadania. Poprawna odpowiedź: \(W(x)=(x-1)(8x^{2}+4x-14)-5\)
**1 pkt** – jeśli uporządkuje wielomian \(W(x)\). Poprawna odpowiedź: \(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9\).
**2 pkt** – jeśli obliczy pierwiastki wielomianu \(W(x)\). Poprawna odpowiedź: \(x_{1}=-1{,}5\), \(x_{2}=0{,}5\), \(x_{3}=1{,}5\).
**1 pkt** – jeśli zapisze wielomian \(W(x)\) w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. \(W(x)=(2x-1)(4x^{2}-9)\), i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
