Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, maj 2002, poziom podstawowy
Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu \(13\) dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała \(28\) stron, a w ostatnim \(68\)?
Odpowiedź
Książka miała \(572\) strony.
Rozwiązanie krok po kroku
Liczby stron czytanych w kolejnych dniach tworzą ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o różnicy \(r\), przy czym \(a_3=28\) i \(a_{13}=68\).
Z wzoru na wyraz ogólny
\[a_{13}-a_3=10r,\qquad 68-28=10r,\qquad r=4.\]
Stąd
\[a_1=a_3-2r=28-8=20.\]
Liczba stron książki to suma trzynastu pierwszych wyrazów:
\[S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot13=\frac{20+68}{2}\cdot13=44\cdot13=572.\]
**Odpowiedź.** Książka miała \(572\) strony.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**5.1. (1 pkt)** – zauważenie, że liczby stron przeczytanych w kolejnych dniach to wyrazy ciągu arytmetycznego i przyjęcie oznaczeń: np. \(a_{1}\) – liczba stron przeczytanych w pierwszym dniu, \(r\) – różnica liczby stron przeczytanych w kolejnych dniach
**5.2. (1 pkt)** – ułożenie układu równań (1) pozwalającego wyznaczyć \(a_{1}\) i \(r\): \((1)\quad\begin{cases}a_{1}+2r=28\\ a_{1}+12r=68\end{cases}\)
**5.3. (1 pkt)** – rozwiązanie układu równań (1): \(\begin{cases}a_{1}=20\\ r=4\end{cases}\)
**5.4. (1 pkt)** – obliczenie liczby stron książki: \(572\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
