Czworokąty
Zadanie 32, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o \(25\%\), a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.
Odpowiedź
Wysokość trapezu skrócono o \(20\%\).
Rozwiązanie krok po kroku
Początkowe pole trapezu wynosi
\[P=\frac{a+b}{2}h.\]
Po wydłużeniu obu podstaw o \(25\%\) mają one długości \(\frac54a\) i \(\frac54b\). Jeśli nową wysokość oznaczymy przez \(x\), to z równości pól
\[\frac{a+b}{2}h=\frac{\frac54a+\frac54b}{2}x=\frac54\cdot\frac{a+b}{2}x.\]
Stąd
\[h=\frac54x,\qquad x=\frac45h=0{,}8h.\]
Nowa wysokość stanowi \(80\%\) dawnej, więc skrócono ją o \(20\%\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawny wynik: wysokość skrócono o \(20\%\)
**1 pkt** – zapisanie równości pól starego i nowego trapezu z podstawami \(\frac54a\), \(\frac54b\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie wzoru na pole trapezu i obliczeń procentowych do porównywania wielkości.
