Ciąg arytmetyczny
Zadanie 33, czerwiec 2018, poziom podstawowy
( )
W ciągu arytmetycznym a , określonym dla liczb naturalnych \(n \geq 1\), wyraz szósty jest
n
liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego
\(15\)
ciągu jest równa \(S =\) . Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
\(10\) \(4\)
Odpowiedź
\(a_{1}\)=−\(\frac{3}{4}\), r=\(\frac{1}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(a_6=2a_5\) oraz \(a_6=a_5+r\) otrzymujemy \(a_5+r=2a_5\), czyli \(r=a_5\). Ponieważ \(a_5=a_1+4r\), mamy
\[r=a_1+4r,\qquad a_1=-3r.\]
Sumę dziesięciu początkowych wyrazów zapisujemy wzorem \(S_{10}=\frac{(2a_1+9r)\cdot10}{2}=5(2a_1+9r)\) i podstawiamy \(a_1=-3r\):
\[S_{10}=5(-6r+9r)=15r=\frac{15}4.\]
Stąd \(r=\frac14\), a \(a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\).
**Odpowiedź.** \(a_1=-\frac34\), \(r=\frac14\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – poprawne równania z warunków \(a_6=2a_5\) i \(S_{10}=\tfrac{15}{4}\).
**4 pkt** – \(a_1=-\tfrac{3}{4}\), \(r=\tfrac{1}{4}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
