Ostrosłupy
Zadanie 32, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac35\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź
Pole powierzchni bocznej jest równe
\[P_b=96\sqrt{41}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(S\) będzie wierzchołkiem ostrosłupa, \(O\) środkiem podstawy, a \(A\) wierzchołkiem podstawy. W trójkącie prostokątnym \(SOA\) oznaczmy \(|SA|=b\) i \(|OA|=x\). Mamy
\[\cos\alpha=\frac{x}{b}=\frac35,\qquad x^2+16^2=b^2.\]
Z proporcji trójkąta \(3:4:5\) otrzymujemy \(x=12\) i \(b=20\). Ponieważ \(x\) jest połową przekątnej kwadratu,
\[\frac{a\sqrt2}{2}=12,\qquad a=12\sqrt2.\]
Wysokość \(h\) ściany bocznej spełnia
\[h^2+\left(\frac a2\right)^2=b^2,\]
więc
\[h^2+(6\sqrt2)^2=20^2,\qquad h=2\sqrt{82}.\]
Pole czterech ścian bocznych wynosi
\[P_b=4\cdot\frac12ah=2\cdot12\sqrt2\cdot2\sqrt{82}=96\sqrt{41}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie pola powierzchni bocznej \(P_b=96\sqrt{41}\)
**4 pkt** – obliczenie wysokości ściany bocznej \(h=2\sqrt{82}\)
**3 pkt** – obliczenie krawędzi podstawy \(a=12\sqrt2\)
**2 pkt** – zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć \(b\) lub \(x\), np. \((\frac35b)^2+16^2=b^2\)
**1 pkt** – zapisanie \(\frac xb=\frac35\), równania \(x^2+16^2=b^2\), obliczenie \(\sin\alpha=\frac45\) albo \(\tan\alpha=\frac43\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** stereometria - kąt nachylenia prostej do płaszczyzny, ostrosłup prawidłowy czworokątny, twierdzenie Pitagorasa i pole powierzchni bocznej.
