Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 34, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Punkty \(A = ( -1{,}1 )\) i \(C = ( 1, 9 )\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym
\(AC = BC\) . Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y = 1 x + 3\) . Oblicz
\(2\) \(2\)
współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: \(A=(-1,1)\), \(C=(1,9)\), a podstawa \(AB\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac12x+\frac32\).
Makro {,} w zapisie A = (−1{,}1) fałszuje punkt na liczbę; tokeny 1, 2 i 3, 2 tworzą ułamki 1/2 i 3/2. Sprawdzenie: A leży na tej prostej, a wynik B = (43/5, 29/5) z klucza CKE również ją spełnia.
Odpowiedź
\[B=\left(\frac{43}5,\frac{29}5\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt jest równoramienny o ramionach \(AC\) i \(BC\), więc wysokość opuszczona z \(C\) na podstawę \(AB\) dzieli tę podstawę na połowy.
Podstawa leży na prostej \(y=\frac12x+\frac32\), więc wysokość z \(C=(1,9)\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\):
\[y=-2(x-1)+9=-2x+11.\]
Spodek wysokości \(M\) jest przecięciem obu prostych:
\[\frac12x+\frac32=-2x+11\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=\frac{19}2\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{19}5,\qquad y=\frac{17}5.\]
Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc
\[B=\left(2\cdot\frac{19}5-(-1),\ 2\cdot\frac{17}5-1\right)=\left(\frac{43}5,\frac{29}5\right).\]
**Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{43}5,\frac{29}5\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – równanie okręgu lub wykorzystanie równości \(AC=BC\).
**4 pkt** – \(B=\left(\tfrac{43}{5},\tfrac{29}{5}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 34.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.
