Ciąg arytmetyczny
Zadanie 31, czerwiec 2016, poziom podstawowy
( )
Dany jest ciąg arytmetyczny a określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1, w\) którym
n
\(a + a + a + a = 2016\) oraz a + a + a + ... \(+ a = 2016\) . Oblicz pierwszy wyraz, różnicę
\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(12\)
( )
oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu a .
n
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).”
w zapisie zastanym po obu sumach zostały gołe litery \(a\), a wszystkie indeksy zjechały do jednego wiersza „\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(12\)”, przy czym pierwsze cztery należą do pierwszej sumy, a \(5\), \(6\), \(7\) i \(12\) do drugiej (osiem wyrazów od \(a_5\) do \(a_{12}\)); puste „( )” i samotne „n” to rozbity symbol \((a_n)\). Rachunek potwierdza odczyt: \(4a_1+6r=2016\) oraz \(8a_1+60r=2016\) dają \(r=-42\) i \(a_1=567\), a z \(a_n=609-42n\) warunek \(a_n \gt 0\) daje \(n \leq 14\), czyli \(a_{14}=21\) — dokładnie tak, jak w kluczu i w polu odpowiedzi.
Odpowiedź
\(a_{1}\)=\(567\), r=−\(42\), najmniejszy dodatni wyraz \(a_{14}\)=\(21\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oba warunki zapisujemy przez \(a_1\) i różnicę \(r\). Suma czterech początkowych wyrazów:
\[4a_1+6r=2016,\qquad\text{czyli}\qquad 2a_1+3r=1008.\]
Suma ośmiu wyrazów od piątego do dwunastego:
\[8a_1+(4+5+\ldots+11)r=8a_1+60r=2016,\qquad\text{czyli}\qquad 2a_1+15r=504.\]
Odejmując równania stronami, otrzymujemy \(12r=-504\), czyli \(r=-42\), a następnie
\[2a_1=1008-3\cdot(-42)=1134,\qquad a_1=567.\]
Wzór ogólny to \(a_n=567-42(n-1)=609-42n\). Wyraz jest dodatni, gdy \(609-42n>0\), czyli \(n<14{,}5\); największe takie \(n\) to \(14\), a
\[a_{14}=609-588=21.\]
**Odpowiedź.** \(a_1=567\), \(r=-42\), najmniejszy dodatni wyraz to \(a_{14}=21\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – poprawne równania z sum, układ oraz \(a_{1}=567\) i \(r=-42\).
**5 pkt** – także najmniejszy dodatni wyraz \(a_{14}=21\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 31.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
