Trójkąty
Zadanie 30, czerwiec 2016, poziom podstawowy
W trójkącie ABC dane są długości boków \(AB = 15\) i \(AC = 12\) oraz \(\cos\alpha= 4\), gdzie
\(5\)
\(\alpha=\) BAC . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że
\(BD = 2 AD\) i \(AE = 2 CE\) (zobacz rysunek).
C
E
α
A B
D
Oblicz pole
a) trójkąta ADE.
b) czworokąta BCED.
Odpowiedź
\[P_{ADE}=12,\qquad P_{BCED}=42.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z jedynki trygonometrycznej, dla kąta \(\alpha\) w trójkącie (\(0^\circ<\alpha<180^\circ\), więc \(\sin\alpha>0\)):
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\tfrac45\right)^2}=\tfrac35.\]
**a)** Z warunku \(\lvert BD\rvert=2\lvert AD\rvert\) punkt \(D\) dzieli \(AB\) tak, że \(\lvert AD\rvert=\frac13\lvert AB\rvert=5\). Z warunku \(\lvert AE\rvert=2\lvert CE\rvert\) mamy \(\lvert AE\rvert=\frac23\lvert AC\rvert=8\).
Trójkąt \(ADE\) ma kąt \(\alpha\) między bokami \(AD\) i \(AE\), więc
\[P_{ADE}=\tfrac12\cdot5\cdot8\cdot\tfrac35=12.\]
**b)** Pole całego trójkąta:
\[P_{ABC}=\tfrac12\cdot15\cdot12\cdot\tfrac35=54.\]
Czworokąt \(BCED\) jest tym, co pozostaje z trójkąta \(ABC\) po usunięciu trójkąta \(ADE\):
\[P_{BCED}=54-12=42.\]
**Odpowiedź.** \(P_{ADE}=12\), \(P_{BCED}=42\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – wyznaczenie \(\sin\alpha=\frac35\), \(\lvert AD\rvert=5\), \(\lvert AE\rvert=8\) oraz pola trójkąta \(ADE\) równego \(12\).
**4 pkt** – obliczenie pola czworokąta \(BCED\) równego \(42\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 30.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
