Stereometria
Zadanie 32, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Dany jest stożek o objętości \(8\pi \) , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest
równy \(3 : 8\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Odpowiedź
\[P_b=2\pi\sqrt{73}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ze stosunku \(H:r=3:8\) przyjmijmy \(H=3k\) i \(r=8k\). Z objętości
\[\frac13\pi(8k)^{2}\cdot3k=8\pi\quad\Longrightarrow\quad 64k^{3}=8\quad\Longrightarrow\quad k=\frac12,\]
czyli \(r=4\) oraz \(H=\frac32\).
Tworząca:
\[l=\sqrt{r^{2}+H^{2}}=\sqrt{16+\frac94}=\sqrt{\frac{73}4}=\frac{\sqrt{73}}2.\]
Pole powierzchni bocznej:
\[P_b=\pi rl=\pi\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}2=2\pi\sqrt{73}.\]
**Odpowiedź.** \(P_b=2\pi\sqrt{73}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – zależności \(\tfrac{h}{r}=\tfrac{3}{8}\) i \(r^{2}h=24\), następnie \(r=4\) oraz \(h=\tfrac{3}{2}\).
**4 pkt** – pole boczne \(2\pi\sqrt{73}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
