Zadanie 4 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom rozszerzony

\(m=-\dfrac52\) lub \(m=\dfrac72\). Wyróżnik równania to \(\Delta=(2m-1)^2\), więc dwa różne pierwiastki istnieją dla \(m\neq\tfrac12\), a warunek \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\dfrac{|2m-1|}{2}=3\) prowadzi do \(|2m-1|=6\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie kwadratowe z parametrem i warunek na odległość pierwiastków. Dwa fakty załatwiają całe zadanie: równanie ma dwa różne pierwiastki dokładnie wtedy, gdy \(\Delta\gt0\), a różnica pierwiastków wyraża się wzorem \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\) (wynika on z tego, że \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\), więc po odjęciu zostaje \(\dfrac{2\sqrt{\Delta}}{2|a|}\)). **Krok \(2\).** Tu \(a=2\), \(b=3-2m\), \(c=-m+1\). Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(3-2m)^2-4\cdot2\cdot(-m+1)=9-12m+4m^2+8m-8.\] **Krok \(3\).** Porządkujemy: \[\Delta=4m^2-4m+1=(2m-1)^2.\] **Krok \(4\).** Warunek dwóch różnych pierwiastków: \((2m-1)^2\gt0\), a kwadrat jest dodatni dokładnie wtedy, gdy podstawa nie jest zerem: \[2m-1\neq0\ \Longleftrightarrow\ m\neq\tfrac12.\] **Krok \(5\).** Różnica pierwiastków: \[|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\frac{\sqrt{(2m-1)^2}}{2}=\frac{|2m-1|}{2}.\] **Krok \(6\).** Warunek z treści \(|x_1-x_2|=3\) daje \[\frac{|2m-1|}{2}=3\ \Longrightarrow\ |2m-1|=6.\] **Krok \(7\).** Równanie z wartością bezwzględną rozbijamy na dwa przypadki: \[2m-1=6\ \Longrightarrow\ m=\frac72,\qquad 2m-1=-6\ \Longrightarrow\ m=-\frac52.\] Obie liczby są różne od \(\tfrac12\), więc warunek z kroku \(4\) jest spełniony. **Krok \(8\).** Sprawdzenie dla \(m=\tfrac72\): równanie przyjmuje postać \(2x^2-4x-\tfrac52=0\), czyli \(4x^2-8x-5=0\), a jego pierwiastkami są \(x=\tfrac52\) i \(x=-\tfrac12\) — różnią się dokładnie o \(3\). **Uwaga.** Wartość bezwzględna zawsze daje dwa przypadki i oba trzeba rozpatrzyć. Uwaga też na to, że \(\sqrt{(2m-1)^2}=|2m-1|\), a nie \(2m-1\) — bez wartości bezwzględnej zgubilibyśmy jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(m=-\dfrac52\) lub \(m=\dfrac72\).

*Schemat oceniania I i II* Rozwiązanie zadania składa się z trzech części. **1 pkt** – część a): rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\). **3 pkt** – część b): rozwiązanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\): \(m=-\frac{5}{2}\) lub \(m=\frac{7}{2}\). **1 pkt** – część c): wyznaczeniu części wspólnej rozwiązania nierówności z a) i rozwiązania równania z b). Rozwiązanie części b) – następujące etapy: **1 pkt** – zapisanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\) w postaci równoważnej \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=9\); albo zapisanie równości \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}}\); albo obliczenie \(x_{1}\) i \(x_{2}\); albo zapisanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\) w postaci alternatywy \(x_{1}-x_{2}=3\) lub \(x_{1}-x_{2}=-3\). **2 pkt** – doprowadzenie równania \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=9\) do postaci \(4m^{2}-4m-35=0\); albo zapisanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\) w postaci \(\frac{\lvert 2m-1\rvert}{2}=3\); albo doprowadzenie równań \(x_{1}-x_{2}=3\) i \(x_{1}-x_{2}=-3\) do postaci \(\frac{\lvert 2m-1\rvert}{2}=[\ldots]\). **Rozwiązanie pełne części b)** – rozwiązanie równania \(4m^{2}-4m-35=0\): \(m=-\frac{5}{2}\) lub \(m=\frac{7}{2}\). *Schemat oceniania III* **1 pkt** – zapisanie równania w postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np. \(2x^{2}+x+2x+1-2mx-m=0\). **2 pkt** – zapisanie równania w postaci iloczynowej: \(\left(2x+1\right)\left(x+1-m\right)=0\). **3 pkt** – obliczenie \(x_{1}\) i \(x_{2}\): \(x_{1}=-\frac{1}{2}\), \(x_{2}=m-1\). **5 pkt** – rozwiązanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\): \(m=3\frac{1}{2}\) lub \(m=-2\frac{1}{2}\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje \(4\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IV.3.b.R).