Zadanie 15 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

**a)** \(\displaystyle P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\). **b)** Minimum występuje dla \(x=4\sqrt{3}\), a najmniejsze pole jest równe \(12\sqrt{3}\,\mathrm{m}^{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: korzystamy z dwóch faktów o trójkącie opisanym na okręgu — ze wzoru \(P=r\cdot p\) (gdzie \(p\) to połowa obwodu) oraz z twierdzenia Pitagorasa dla połowy trójkąta równoramiennego. Promień koła fontanny wynosi \(r=2\) (średnica ma \(4\) metry). **Krok \(2\).** Oznaczmy: \(x\) — długość podstawy, \(b\) — długość ramienia, \(h\) — wysokość opuszczona na podstawę. Połowa obwodu jest równa \(p=\frac{2b+x}{2}=b+\frac{x}{2}\). **Krok \(3\).** Pole zapisujemy na dwa sposoby: \[\frac{1}{2}xh=r\cdot p=2\left(b+\frac{x}{2}\right)=2b+x,\] skąd \[b=\frac{xh-2x}{4}=\frac{x(h-2)}{4}.\] **Krok \(4\).** Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa \[b^{2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(b\) z kroku \(3\): \[\frac{x^{2}(h-2)^{2}}{16}=\frac{x^{2}}{4}+h^{2},\qquad x^{2}\left(h^{2}-4h+4\right)=4x^{2}+16h^{2},\] \[x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}.\] **Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(h\gt 0\) i wyznaczamy \(h\): \[x^{2}h-4x^{2}=16h,\qquad h\left(x^{2}-16\right)=4x^{2},\qquad h=\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}.\] (Dla istnienia takiego trójkąta konieczne jest \(x\gt 4\), czyli \(x^{2}-16\gt 0\).) **Krok \(7\).** Obliczamy pole: \[P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}x\cdot\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}.\] To należało wykazać. **Krok \(8\).** Metoda w podpunkcie **b)**: badamy znak pochodnej funkcji \(P\) na przedziale \((4,10\rangle\). **Krok \(9\).** Różniczkujemy: \[P^{\prime}(x)=\frac{6x^{2}\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{6x^{4}-96x^{2}-4x^{4}}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{2x^{2}\left(x^{2}-48\right)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}.\] **Krok \(10\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(2x^{2}\left(x^{2}-48\right)=0\), czyli \(x=0\) lub \(x=\pm 4\sqrt3\). W przedziale \((4,10\rangle\) zostaje tylko \(x=4\sqrt3\approx 6{,}93\). **Krok \(11\).** Badamy znak pochodnej: dla \(x\in\left(4,4\sqrt3\right)\) jest \(x^{2}\lt 48\), więc \(P^{\prime}(x)\lt 0\); dla \(x\in\left(4\sqrt3,10\right\rangle\) jest \(P^{\prime}(x)\gt 0\). Funkcja \(P\) maleje na \(\left(4,4\sqrt3\right\rangle\) i rośnie na \(\left\langle 4\sqrt3,10\right\rangle\), więc dla \(x=4\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(12\).** Obliczamy to pole. Mamy \(\left(4\sqrt3\right)^{3}=192\sqrt3\) oraz \(\left(4\sqrt3\right)^{2}-16=48-16=32\), więc \[P\left(4\sqrt3\right)=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{32}=12\sqrt3.\] **Uwaga.** Znaleziona podstawa \(4\sqrt3\approx 6{,}93\) mieści się w narzuconym w zadaniu ograniczeniu \(x\leqslant 10\) — gdyby minimum wypadło poza tym przedziałem, trzeba by porównać wartości na jego krańcach. **Odpowiedź.** **a)** \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\). **b)** Pole jest najmniejsze dla podstawy \(x=4\sqrt3\) metrów i wynosi wtedy \(12\sqrt3\ \mathrm{m}^{2}\).

**Część a)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie związku między \(h\) i \(x\) oraz jedną z wielkości: długością \(b\) ramienia, lub długością odcinka \(CE\), lub długością odcinka \(CS\), np.: \(b^{2}=\left(\frac{1}{2}x\right)^{2}+h^{2}\), \(\frac{r}{h-r}=\frac{\frac{1}{2}x}{b}\), \(\frac{1}{2}xh=r\cdot\left(\frac{1}{2}x+b\right)\), ALBO zapisanie związku \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{r}{\frac{1}{2}x}\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie związku \(P=\left(b+\frac{x}{2}\right)\cdot r\) lub \(P=\sqrt{\left(b+\frac{1}{2}x\right)\left(b+\frac{1}{2}x-b\right)\left(b+\frac{1}{2}x-b\right)\left(b+\frac{1}{2}x-x\right)}\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie związków \(P=\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\beta)\) oraz \(\sin\beta=\frac{r}{h-r}\), ALBO zapisanie długości boków trójkąta \(ADC\) (lub trójkąta \(CES\)) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV), ALBO zapisanie długości przyprostokątnych trójkątów \(ADC\) oraz \(CES\) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV). **2 pkt** – spełnienie kryterium zapisanego w pierwszym myślniku w kategorii za 1 punkt oraz zapisanie układu co najwyżej trzech równań niezależnych, umożliwiającego wyznaczenie \(h\) w zależności od \(x\) ALBO wyznaczenie \(\operatorname{tg}(2\alpha)\) w zależności od \(x\), np. \(\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{4rx}{x^{2}-4r^{2}}\) (dla sposobu II), ALBO wyznaczenie zależności między \(P\) oraz \(x\), np. \(P^{2}=\frac../../{r}\cdot\left(\frac../../{r}-x\right)\cdot\frac{1}{4}x^{2}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. Uwaga: Kategorie za 1 punkt oraz za 2 punkty oceniamy w sytuacji, gdy zdający posługuje się symbolem \(r\) albo przyjmie \(r=2\) lub \(r=4\). Natomiast jeżeli zdający przyjmie promień inny niż \(2\) lub \(4\), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. **Część b)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(x)=\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(x=4\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\) (m), oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: \(P(4\sqrt{3})=12\sqrt{3}\) (m\(^{2}\)). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(2x^{3}\) oraz \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\) lub \(\frac{B(x)}{(x^{2}-16)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 2. b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(2x^{3}\) lub \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\) lub \(\frac{B(x)}{(x^{2}-16)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), lub w \((4,+\infty)\), lub w \((0,10]\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.