Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 22, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach
\[2x+y-4m-4=0\qquad\text{oraz}\qquad x-3y+5m+5=0\]
przecinają się w punkcie \(P=(x_P,y_P)\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których współrzędne punktu \(P\) spełniają warunki
\[x_P>0,\qquad y_P>0,\qquad y_P\geq x_P^2\qquad\text{oraz}\qquad 2<-\frac{8}{y_P^2}+\frac{8}{x_P}.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[m\in(1-\sqrt3,1].\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(P\) leży na obu prostych, więc rozwiązujemy układ i otrzymujemy
\[x_P=m+1,\qquad y_P=2(m+1).\]
Warunki \(x_P>0\) i \(y_P>0\) dają \(m>-1\). Dalej
\[2(m+1)\geq(m+1)^2\iff m\in[-1,1].\]
Ostatnia nierówność ma postać
\[2<-\frac{8}{[2(m+1)]^2}+\frac{8}{m+1}.\]
Dla \(m\neq-1\) jest równoważna
\[\frac{2m^2-4m-4}{(m+1)^2}<0\iff m\in(1-\sqrt3,1+\sqrt3).\]
Przecięcie wszystkich warunków daje
\[m\in(1-\sqrt3,1].\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru
**4 pkt** – wyznaczenie dodatniości obu współrzędnych i rozwiązanie obu pozostałych nierówności
**3 pkt** – wyznaczenie dodatniości obu współrzędnych oraz rozwiązanie jednej z dwóch nierówności
**2 pkt** – wyznaczenie wartości \(m\), dla których obie współrzędne są dodatnie, albo rozwiązanie jednej z nierówności
**1 pkt** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\) w zależności od \(m\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IV.1) Zdający rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi i interpretuje układy geometrycznie.
