Zadanie 12.2 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

Minimum występuje dla \(x=4\sqrt{3}\,\mathrm{m}\), a najmniejsze pole jest równe \(12\sqrt{3}\,\mathrm{m}^{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji \(P\) na przedziale \((4,10\rangle\), badając znak jej pochodnej. **Krok \(2\).** Różniczkujemy \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\), korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(x)=\frac{6x^{2}\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{6x^{4}-96x^{2}-4x^{4}}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{2x^{2}\left(x^{2}-48\right)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc \[P^{\prime}(x)=0\iff 2x^{2}\left(x^{2}-48\right)=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=-4\sqrt3\ \text{lub}\ x=4\sqrt3.\] W przedziale \((4,10\rangle\) zostaje jedynie \(x=4\sqrt3\approx 6{,}93\). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej. Ponieważ \(2x^{2}\gt 0\) i mianownik jest dodatni, znak \(P^{\prime}(x)\) jest znakiem wyrażenia \(x^{2}-48\): \[x\in\left(4,4\sqrt3\right)\Rightarrow P^{\prime}(x)\lt 0,\qquad x\in\left(4\sqrt3,10\right\rangle\Rightarrow P^{\prime}(x)\gt 0.\] **Krok \(5\).** Zatem funkcja \(P\) maleje w przedziale \(\left(4,4\sqrt3\right\rangle\) i rośnie w przedziale \(\left\langle 4\sqrt3,10\right\rangle\), więc w punkcie \(x=4\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(6\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(4\sqrt3\right)^{3}=64\cdot 3\sqrt3=192\sqrt3\) oraz \(\left(4\sqrt3\right)^{2}-16=48-16=32\), więc \[P\left(4\sqrt3\right)=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{32}=12\sqrt3.\] **Uwaga.** Wynik \(4\sqrt3\approx 6{,}93\) mieści się w dozwolonym przedziale \((4,10\rangle\), więc jest to rzeczywiście wartość najmniejsza w całej dziedzinie, a nie tylko lokalne minimum poza zakresem projektu. **Odpowiedź.** Pole kwietnika jest najmniejsze dla podstawy \(x=4\sqrt3\) metrów i wynosi wtedy \(12\sqrt3\ \mathrm{m}^{2}\).

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\) (m), oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: \(P\left(4\sqrt{3}\right)=12\sqrt{3}\) (m\(^{2}\)). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(x=4\sqrt{3}\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(x)=\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(2x^{3}\) oraz \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)}\) lub \(\frac{B(x)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(2x^{3}\) lub \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)}\) lub \(\frac{B(x)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), lub w \((4,+\infty)\), lub w \((0,10]\), to może uzyskać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (\(1\) punkt za pochodną i \(1\) punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.