Liczby rzeczywiste
Zadanie 20, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Firma X wytwarza produkt D. Związek między ilością \(Q\) produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć, a ceną \(P\) produktu opisuje wzór
\[P(Q)=90-0{,}1Q\qquad\text{dla }Q\in[0,900],\]
gdzie \(P\) jest ceną jednostki produktu w złotych, a \(Q\) ilością produktu w tysiącach sztuk. Koszty \(K\) wytworzenia produktu D zależą od ilości \(Q\) zgodnie ze wzorem
\[K(Q)=0{,}002Q^3+Q^2+29{,}9985Q+50,\]
gdzie \(K\) jest kosztem produkcji w tysiącach złotych.
**Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj w sztukach, zaokrąglony do pełnych setek.**
Odpowiedź
Największy dochód firma osiąga przy produkcji \(25\,500\) sztuk.
Rozwiązanie krok po kroku
Przychód w tysiącach złotych wynosi
\[R(Q)=Q\cdot P(Q)=90Q-0{,}1Q^2.\]
Dochód jest różnicą przychodu i kosztów:
\[Z(Q)=R(Q)-K(Q)=-0{,}002Q^3-1{,}1Q^2+60{,}0015Q-50.\]
Obliczamy pochodną
\[Z'(Q)=-0{,}006Q^2-2{,}2Q+60{,}0015.\]
W przedziale \([0,900]\) równanie \(Z'(Q)=0\) ma jedno rozwiązanie dodatnie, \(Q=25{,}5\). Pochodna jest dodatnia przed tym punktem i ujemna po nim, więc \(Z\) osiąga tam maksimum globalne. Ponieważ \(Q\) podano w tysiącach sztuk, optymalna wielkość produkcji to \(25{,}5\cdot1000=25\,500\) sztuk, już z żądaną dokładnością.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – prawidłowa metoda wyznaczenia wielkości produkcji gwarantującej maksymalny dochód i poprawny wynik zaokrąglony do setek sztuk
**3 pkt** – znalezienie ekstremum lokalnego funkcji dochodu \(Z(Q)\)
**2 pkt** – zapisanie dochodu w zależności od \(Q\)
**1 pkt** – zapisanie przychodu w zależności od \(Q\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1, III.2 i IV.4 interpretowanie danych tekstowych, tworzenie modelu matematycznego i dobieranie strategii w zadaniu praktycznym.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności i optymalizacja z zastosowaniem pochodnej.
