Liczby rzeczywiste
Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\). Odcinki \(AB\) i \(AC\) są prostopadłe oraz
\[|AB|=15\,\mathrm{km},\qquad |AC|=20\,\mathrm{km}.\]
O godzinie \(9{:}00\) z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się z prędkością \(4\,\mathrm{km/h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze” i przemieszczał się z prędkością \(2\,\mathrm{km/h}\).
**Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza.**
Odpowiedź
Odległość między zastępami będzie najmniejsza o godzinie \(10{:}30\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(t\) oznacza liczbę godzin od \(9{:}00\). Tropiciele są wtedy w odległości \(4t\) od \(A\), a Korsarze w odległości \(15-2t\) od \(A\). Ponieważ ich drogi są prostopadłe, dla \(t\in[0,5]\) odległość między zastępami wynosi
\[d(t)=\sqrt{(4t)^2+(15-2t)^2}.\]
Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc minimalizujemy
\[d^2(t)=16t^2+(15-2t)^2=20t^2-60t+225.\]
Wierzchołek tej paraboli ma pierwszą współrzędną
\[t=-\frac{-60}{2\cdot20}=1{,}5.\]
Od chwili wymarszu upływa półtorej godziny, zatem szukana godzina to \(10{:}30\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – prawidłowa metoda wyznaczenia minimum i odpowiedź \(10{:}30\)
**3 pkt** – uzasadnienie, że wystarczy minimalizować \(20t^2-60t+225\), wraz z dziedziną \(t\in[0,5]\)
**2 pkt** – zapisanie \(d(t)=\sqrt{16t^2+(15-2t)^2}\)
**1 pkt** – zapisanie odległości zastępów od \(A\): \(4t\) i \(15-2t\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.2 i IV.4 tworzenie modelu matematycznego problemu praktycznego oraz stosowanie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4R i XIII.6R obliczanie pochodnych funkcji złożonych oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
