Potęgi i pierwiastki
Zadanie 9, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Syzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką kamienną kulę na szczyt pewnej góry. Pracę zaczyna w chwili \(t=0\) od punktu \(O\) oddalonego od szczytu o \(4\,\mathrm{km}\). Położenie \(s\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem
\[s(t)=-t^3+16{,}5t^2+180t\qquad\text{dla }t\in[0,24],\]
gdzie \(s\) jest wyrażone w metrach, a czas \(t\) w godzinach. Oś \(Os\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
**Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz maksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.**
Odpowiedź
Najmniejsza odległość od szczytu wynosi \(962{,}5\,\mathrm m\), a maksymalna prędkość pod górę wynosi \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy pochodną położenia:
\[s'(t)=-3t^2+33t+180=-3(t-15)(t+4).\]
W przedziale \([0,24]\) funkcja \(s\) rośnie do \(t=15\), a następnie maleje, więc maksimum położenia wynosi
\[s(15)=-15^3+16{,}5\cdot15^2+180\cdot15=3037{,}5\,\mathrm m.\]
Szczyt jest oddalony od punktu startu o \(4000\,\mathrm m\), zatem najmniejsza odległość od szczytu to
\[4000-3037{,}5=962{,}5\,\mathrm m.\]
Prędkość jest równa \(v(t)=s'(t)=-3t^2+33t+180\). Ta funkcja kwadratowa osiąga maksimum w wierzchołku dla
\[t=-\frac{33}{2\cdot(-3)}=\frac{11}{2}.\]
Stąd
\[v\left(\frac{11}{2}\right)=270{,}75\,\mathrm{m/h}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne metody i oba wyniki: \(962{,}5\,\mathrm m\) oraz \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\)
**3 pkt** – zapisanie \(v=s'\) i wyznaczenie ekstremów funkcji \(s'\)
**2 pkt** – zbadanie monotoniczności \(s\) i wyznaczenie jej maksimum
**1 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej \(s'\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; operowanie obiektami matematycznymi i interpretowanie pojęć.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.3R-XIII.6R fizyczna interpretacja pochodnej, obliczanie pochodnej funkcji potęgowej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
