Liczby rzeczywiste
Zadanie 10, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie czterech miast \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) oraz przykładową sieć dróg między nimi. Sieć trzeba tak zaprojektować, aby łączyła każde dwa z tych miast, miała dwa węzły, a łączna długość jej dróg była możliwie najmniejsza. Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) są wierzchołkami kwadratu o boku \(300\,\mathrm{km}\).
**Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.**
Odpowiedź
Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na symetralnych odpowiednio boków \(AD\) i \(BC\), w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od tych boków; każdy jest oddalony o \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch najbliższych miast.
Rozwiązanie krok po kroku
W optymalnej konfiguracji lewy węzeł \(K\) leży na symetralnej \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej \(BC\). Oznaczmy ich odległości od odpowiednich boków przez \(x\) i \(y\). Długość sieci wynosi
\[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\]
Wystarczy zminimalizować funkcję
\[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\]
Jej pochodna to
\[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\]
Równanie \(f'(x)=0\) daje
\[4x^2=x^2+150^2,\qquad x=50\sqrt3.\]
Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc jest to minimum. Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Ponieważ \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), otrzymujemy
\[d_{\min}=2\cdot150\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\]
Odległość każdego węzła od dwóch przypisanych mu miast wynosi
\[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja obu węzłów
**5 pkt** – obliczenie długości \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\)
**4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\)
**3 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej \(f'\)
**2 pkt** – wyrażenie długości sieci przez odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\)
**1 pkt** – uzasadnienie, że węzły leżą na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
